La fonction
Une machine qui transforme les nombresUne fonction prend un nombre, lui applique une règle, et rend un résultat. Toujours la même règle, et un seul résultat pour chaque nombre. Envoie des boules dans la machine et regarde ce qui sort.
Nourris la machine
Cette machine applique la règle × 2 + 1 : elle double le nombre, puis ajoute 1. Clique un nombre pour l’envoyer dedans. Envoies-en au moins trois.
C’est ça, une fonction : une règle qui, à chaque nombre x, associe un seul résultat, noté f(x). Ici, f(3) = 7. On lit « f de 3 égale 7 ». On dit que 7 est l’image de 3, et 3 un antécédent de 7.
Une règle, une formule
Écrire la règle en mots, c’est long. Alors on utilise la lettre x pour dire « n’importe quel nombre » : la machine s’écrit f(x) = 2x + 1. (2x veut dire 2 × x.)
La machine qui met au carré (x × x) s’écrit :
La machine mystère
La règle est cachée ! Envoie des nombres, observe ce qui sort, puis trouve la formule. C’est exactement ce que font les scientifiques : tester, observer, trouver la loi.
Machine 1 / 3
Chaque résultat se place sur le graphique : x à l’horizontale, f(x) à la verticale. Garde ça en tête pour la suite.
Des points à la courbe
Chaque couple (x ; f(x)) devient un point sur un graphique. Relie tous les points possibles, et la fonction se dessine. Chaque famille de fonctions a sa silhouette : c’est ce qui te permettra de les reconnaître au premier regard.
Place les points
Voici la fonction f(x) = x². Pour x = 2, f(2) = 2 × 2 = 4 : on place le point à 2 vers la droite et 4 vers le haut. Place les 7 points du tableau.
Trois familles, trois silhouettes
Change la famille et le coefficient (le nombre devant x). Promène le curseur sur la courbe.
Les trois indices du détective
Comment savoir si une courbe est 2x² ou 3x³ ? Trois indices suffisent.
À toi : la courbe noire, c’est…
L’axe horizontal, c’est x (ce qui entre). L’axe vertical, c’est f(x) (ce qui sort).
À quoi ça sert, pour de vrai ?
Les fonctions sont partout où une quantité dépend d’une autre : la hauteur d’un ballon dépend de la distance parcourue, le freinage dépend de la vitesse, le prix dépend du nombre de séances. Commence par le terrain de basket.
Le panier est à 4,6 m et à 3,05 m de haut. Règle l’angle et la force, puis tire. Marque 3 paniers.
La trajectoire est une fonction : à chaque distance d, une seule hauteur h(d). Sa courbe est une parabole, de la famille de x². Le coefficient devant d² est négatif : le U est à l’envers.
Le freinagefamille x²
Sur route sèche, la distance de freinage vaut environ (v ÷ 10)² mètres, avec v en km/h.
La pizzafamille x²
La surface d’une pizza vaut 3,14 × r² (r = le rayon, la moitié du diamètre).
La carte ciné2 droites
Sans carte : 9 € la séance. Avec la carte : 20 € une fois, puis 5 € la séance.
L’aquariumfamille x³
Un aquarium en forme de cube de côté c (en dm) contient c³ litres.
Et aussi : la batterie de ton téléphone qui se vide, le prix d’une course en VTC, la température d’un gâteau au four, le nombre de vues d’une vidéo qui explose… Dès qu’une chose dépend d’une autre, une fonction se cache derrière.
Les jeux vidéo en sont remplis : la trajectoire d’une grenade, l’expérience qu’il faut pour passer un niveau, la lumière qui diminue avec la distance. Les développeurs écrivent ces fonctions en code.
La chasse aux courbes
60 secondes. Une courbe apparaît : trouve sa formule le plus vite possible. Plus tu vas vite, plus tu gagnes de points, et 3 bonnes réponses d’affilée doublent tes gains. Utilise les touches 1, 2, 3, 4 pour aller encore plus vite.
La chasse aux courbes
Rappelle-toi les trois indices : la forme (droite, U ou S), la hauteur à x = 1 (c’est le coefficient), le côté gauche (x³ plonge sous zéro).
À toi de jouer
Pour calculer une image, remplace x par le nombre dans la formule. Pour trouver un antécédent, cherche le nombre qui donne le résultat.
Une fonction
Une règle qui, à chaque nombre x, associe un seul résultat f(x).
Image et antécédent
f(3) = 7 : 7 est l’image de 3, et 3 un antécédent de 7.
Trois silhouettes
ax : une droite. ax² : un U. ax³ : un S.
Le coefficient
Il se lit à x = 1. Négatif, il retourne la courbe.