La translation
Glisser sans tournerUne translation fait glisser une figure, sans la tourner ni la déformer. Le vecteur u dit de combien : une direction, un sens et une longueur. Attrape la pointe ou le départ de la flèche bleue et déplace le bateau.
Règle la flèche pour que la proue du bateau (le point P) arrive pile sur la bouée rouge.
Même vecteur, n’importe où : la flèche peut partir de n’importe quel point, ce qui compte c’est le déplacement qu’elle représente.
Tous les points bougent pareil : chaque point M du bateau a une image M′ telle que MM′ = u.
Parallélogramme : si M′ et N′ sont les images de M et N, alors MM′N′N est un parallélogramme.
Coordonnées et norme
Combien à droite, combien en hautDans un repère, AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA) : de combien on avance, puis de combien on monte. Sa norme, c’est sa longueur, par Pythagore : √(x² + y²).
La relation de Chasles
Deux déplacements, un seul trajetAller de A à B, puis de B à C, revient à aller directement de A à C : AB + BC = AC. Pour additionner deux vecteurs, on les met bout à bout, et on additionne leurs coordonnées.
Pars du point S et atteins la cible T en n’utilisant que des pas u, v et leurs opposés.
À chaque cible atteinte, écris le déplacement de S à T avec u et v.
Soustraire, c’est ajouter l’opposé : u − v = u + (−v). L’opposé a la même longueur, le sens contraire.
L’ordre ne compte pas : u + v = v + u. Essaie les deux chemins, tu arrives au même endroit.
En coordonnées : (a ; b) + (c ; d) = (a + c ; b + d) et k(a ; b) = (ka ; kb).
La colinéarité
Même directionDeux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction : l’un est un multiple de l’autre. Le test : le déterminant x × y′ − x′ × y doit valoir 0. C’est ce qui permet de prouver que des droites sont parallèles, ou que trois points sont alignés.
Trouve trois vecteurs v différents, colinéaires à u, dont au moins un de sens contraire.
À toi de jouer
Six exercices de contrôle, sans le repère. Fractions et √ acceptés : 5/2, √13.
Coordonnées
AB(xB − xA ; yB − yA). Milieu : la moyenne des coordonnées.
Norme
‖u‖ = √(x² + y²), dans un repère orthonormé.
Chasles
AB + BC = AC. ABCD parallélogramme ⇔ AB = DC.
Colinéarité
det(u ; v) = xy′ − x′y = 0. A, B, C alignés ⇔ AB et AC colinéaires.