La suite du labo des moyennes
Ici on change d’échelle : quels nombres existent, comment on les range, comment on les écrit sur une droite. Les premiers niveaux posent les bases, les derniers demandent de vraiment réfléchir. Le boss final te fait démontrer que √2 n’est pas une fraction.
Les poupées russes Normal
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ : chaque ensemble contient le précédent.
Trieur
Pour chaque nombre, choisis le plus petit ensemble qui le contient. Attention aux déguisements : √9, c’est 3. Chaque bonne réponse vient se ranger dans le schéma.
ℕ : entiers naturels (0, 1, 2…) · ℤ : entiers relatifs (−3, 0, 5…) · 𝔻 : décimaux (un nombre fini de chiffres après la virgule) · ℚ : rationnels (quotients a/b d’entiers) · ℝ : réels (tous les points de la droite).
√2, π, √3 ne sont dans aucun des quatre premiers ensembles : ce sont des irrationnels. Leur écriture décimale est infinie et ne se répète jamais.
Décimal ou pas ? Moyen
Le test des diviseurs 2 et 5.
Diviseur fou
Choisis une fraction. La machine pose la division et cherche si elle s’arrête ou si un motif se répète. Regarde le dénominateur une fois la fraction simplifiée : la réponse est cachée dans ses facteurs.
Une fraction irréductible a/b est un nombre décimal si et seulement si b s’écrit 2n × 5m. Sinon, son écriture décimale est infinie et périodique : c’est un rationnel non décimal.
Parmi 3/40, 7/12 et 21/56, lesquels sont décimaux ? (sans calculatrice, regarde les dénominateurs)
1/7 = 0,142857142857… Quel est le motif qui se répète ? Écris-le sans virgule.
Les intervalles Normal Moyen
Un morceau de droite, avec des crochets qui disent si les bords sont dedans.
Géomètre de la droite
Règle les bornes de I et J, et clique sur les crochets pour les ouvrir ou les fermer. [ tourné vers l’intérieur : la borne est comprise. ] tourné vers l’extérieur : elle est exclue. La machine calcule l’intersection (∩, les deux à la fois) et la réunion (∪, l’un ou l’autre).
x ∈ [−2 ; 5[ ⇔ −2 ≤ x < 5. Avec l’infini, le crochet est toujours ouvert : ]−∞ ; 3] ⇔ x ≤ 3.
[−2 ; 5[ ∩ ]1 ; 8] = ?
]−∞ ; 2] ∩ ]2 ; +∞[ = ?
Valeur absolue = distance Moyen Costaud
|x − a| est la distance entre x et a sur la droite.
Arpenteur
Oublie « on enlève le signe moins ». Pense distance : |x − 3| ≤ 2 veut dire « x est à 2 au plus de 3 ». Bouge le centre, le rayon et le point x.
|x − a| ≤ r ⇔ a − r ≤ x ≤ a + r ⇔ x ∈ [a − r ; a + r]. Pour |x + 2|, pense |x − (−2)| : le centre est −2.
Combien vaut |−7| + |3 − 5| ?
|x − 3| ≤ 2 ⇔ x ∈ ?
|2x + 1| < 5 ⇔ x ∈ ?
Indice : commence par −5 < 2x + 1 < 5.
Le zoom infini Costaud
Encadrer un irrationnel en zoomant ×10 à chaque étape.
Microscope
√2 est entre 1 et 2, puisque 1² = 1 < 2 < 4 = 2². Coupe l’intervalle en 10 et clique sur le morceau qui contient la cible. Pour décider, compare les carrés affichés sous chaque graduation avec le nombre sous la racine.
Chaque zoom donne un chiffre de plus. On peut continuer à l’infini sans jamais tomber sur un motif qui se répète : c’est la marque d’un irrationnel. Encadrement à 10⁻² : 1,41 < √2 < 1,42. Arrondi au centième : 1,41.
Encadre √2, √3 ou √5 à 10⁻³ près (trois zooms réussis d’affilée).
Sachant que 2,236² = 4,999696 et 2,237² = 5,004169, donne l’arrondi de √5 au centième.
Racines carrées Costaud Très costaud
√a + √b n’est pas √(a + b), et le dessin le prouve.
Dompteur de racines
Un carré d’aire a a pour côté √a. Colle un carré d’aire a et un carré d’aire b sur la diagonale d’un grand carré de côté √a + √b. Il reste deux rectangles : c’est l’aire que l’erreur « √a + √b = √(a + b) » oublie.
√(a × b) = √a × √b · √(a / b) = √a / √b · (√a)² = a
√(a + b) ≠ √a + √b. Exemple : √(9 + 16) = 5 mais √9 + √16 = 7.
Simplifier une racine
Cherche le plus grand carré qui divise le nombre : √72 = √(36 × 2) = 6√2. Réussis-en 3.
√50 + √18 = k√2. Combien vaut k ?
Calcule (√3 + 1)(√3 − 1).
Indice : (a + b)(a − b) = a² − b².
Boss final Très costaud
Remets la démonstration dans l’ordre, puis 7 questions sans filet.
Maître des réels
Démontrer que √2 n’est pas une fraction
Une démonstration par l’absurde : on suppose le contraire et on tombe sur une contradiction. Clique les étapes dans le bon ordre.