Ce que tu vas manipuler
La leçon tient en quatre idées : la moyenne (simple, avec effectifs, pondérée), la linéarité (si on transforme toutes les valeurs, la moyenne suit), la variance et l’écart-type (à quel point les valeurs s’éloignent de la moyenne), et la formule de König-Huygens pour calculer la variance plus vite.
Chaque niveau a une manip et une mission. Réussis la mission pour gagner le badge.
La balance de Karim
Moyenne simple : la somme des valeurs divisée par leur nombre.
Équilibriste
Karim a eu 5 notes : 12, 17, 8, 19 et 20. Chaque note est un bloc posé sur une planche graduée de 0 à 20. Déplace le triangle (glisse sur la balance ou utilise le curseur) jusqu’à ce que la planche soit à plat.
La planche penche du côté où il y a « trop » de notes. Trouve l’équilibre pour révéler la moyenne.
Pourquoi une balance ? Les écarts à gauche de la moyenne compensent exactement les écarts à droite : (12−15,2)+(17−15,2)+(8−15,2)+(19−15,2)+(20−15,2) = 0.
Karim veut finir le trimestre avec 16 de moyenne après un 6ᵉ contrôle. Quelle note doit-il avoir ?
Indice : pour 16 de moyenne sur 6 notes, il faut une somme de 16 × 6.
La météo de Rennes
Moyenne avec des effectifs, puis avec des fréquences.
Météorologue
Novembre 2022 à Rennes : 30 jours, et pour chaque jour la température maximale. Plutôt que d’additionner 30 nombres, on compte combien de jours ont eu chaque température : c’est l’effectif ni. Le jour qui a 3 jours à 13 °C compte 3 fois.
avec N = n₁ + n₂ + … + np
où fi = ni / N. Les fréquences font toujours 1 au total, donc plus besoin de diviser.
Avec les boutons + et −, obtiens une moyenne d’au moins 15,5 °C en gardant exactement 30 jours.
Dans le mois d’origine, il y a 6 jours à 15 °C sur 30. Quelle est la fréquence de 15 °C ? (en nombre décimal)
Le bulletin pondéré
Les coefficients, ce sont des poids sur la balance.
Conseil de classe
Un coefficient 3, c’est comme si la note comptait 3 fois. La méthode tient en trois étapes : 1. multiplier chaque note par son coefficient, 2. additionner ces résultats, 3. diviser par la somme des coefficients.
Remplis les cases dans l’ordre. Chaque case devient verte quand elle est juste.
Pour voir : les coefficients sont des poids sur une balance
C’est exactement la formule avec effectifs : le coefficient joue le rôle de l’effectif.
La machine a·x + b
Linéarité : si on transforme toutes les valeurs, la moyenne subit la même chose.
Mécanicien
Deux règles à retenir, et c’est tout :
Si on multiplie toutes les valeurs par un même nombre, la moyenne est multipliée par ce nombre.
Prix moyen 22 €, tout est vendu 2 fois plus cher → prix moyen 2 × 22 = 44 €.
Si on ajoute le même nombre à toutes les valeurs, on ajoute ce nombre à la moyenne.
Moyenne de classe 11, le prof ajoute 1 point à tout le monde → moyenne 12.
Pour voir : déplace les curseurs, le triangle (la moyenne) suit
Des objets achetés en moyenne 22 € sont revendus 1,5 fois leur prix. Prix moyen de revente ?
Voir la méthode
Tous les prix sont multipliés par 1,5 (règle 1). Donc la moyenne aussi : 1,5 × 22 = …
Le prix moyen est de 43 €. Tous les objets baissent de 5 €. Nouveau prix moyen ?
Voir la méthode
On enlève 5 € à chaque prix (règle 2, avec −5). Donc on enlève 5 € à la moyenne : 43 − 5 = …
Salaire moyen : 2 000 €. Tout le monde est augmenté de 5 %, puis reçoit une prime de 150 €. Nouveau salaire moyen ?
Voir la méthode
Étape 1 : augmenter de 5 %, c’est multiplier par 1,05 (règle 1) → 1,05 × 2 000 = 2 100 €.
Étape 2 : la prime ajoute 150 € à tout le monde (règle 2) → 2 100 + 150 = …
Variance et écart-type
Mesurer si les notes sont serrées autour de la moyenne ou très étalées.
Mesureur d’écarts
Deux élèves peuvent avoir 10 de moyenne : l’un avec 9, 10, 11 (régulier), l’autre avec 2, 10, 18 (montagnes russes). L’écart-type σ mesure cette différence. La recette en 4 étapes :
1. calculer la moyenne m · 2. calculer l’écart de chaque note : x − m · 3. mettre chaque écart au carré · 4. faire la moyenne de ces carrés : c’est la variance V. Enfin σ = √V.
Remplis les cases dans l’ordre. Un écart peut être négatif, mais son carré est toujours positif : (−3)² = 9.
Pour voir : chaque écart au carré est un vrai carré
σ a la même unité que les valeurs (des points, des °C, des €). Plus σ est petit, plus la série est homogène.
Le raccourci König-Huygens
La moyenne des carrés, moins le carré de la moyenne.
Calculateur éclair
Une deuxième façon de calculer la variance, souvent plus rapide : on met chaque note au carré directement, sans calculer les écarts. On reprend les notes 7, 9, 11, 13 du niveau 5 : tu dois retrouver V = 5.
1. mettre chaque note au carré · 2. faire la moyenne de ces carrés · 3. lui retirer le carré de la moyenne (m²).
Rappel : la moyenne de 7, 9, 11, 13 est m = 10.
Pour voir : les deux méthodes côte à côte (change les notes)
Boss final
Sept questions, sans calculatrice. 6 bonnes réponses pour battre le boss.
Maître des stats